令 G 为一个李群，记 G 的李代数为
g
{\displaystyle g}
。设
E
→
B
{\displaystyle E\to B}
为一个主 G-丛。令
ω
{\displaystyle \omega }
表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。
那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为
Ω
=
d
ω
+
1
2
[
ω
,
ω
]
=
D
ω
.
{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .}
这里
d
{\displaystyle d}
表示标准外导数，
[
∗
,
∗
]
{\displaystyle [*,*]}
是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说
Ω
(
X
,
Y
)
=
d
ω
(
X
,
Y
)
+
[
ω
(
X
)
,
ω
(
Y
)
]
.
{\displaystyle \Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}
向量丛上的曲率形式
若
E
→
B
{\displaystyle E\to B}
是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。
若
E
→
B
{\displaystyle E\to B}
是一个向量丛则我们可以把
ω
{\displaystyle \omega }
看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：
Ω
=
d
ω
+
ω
∧
ω
,
{\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}
其中
∧
{\displaystyle \wedge }
是楔积。更准确地讲，若
ω
j
i
{\displaystyle \omega _{j}^{i}}
和
Ω
j
i
{\displaystyle \Omega _{j}^{i}}
分别代表
ω
{\displaystyle \omega }
和
Ω
{\displaystyle \Omega }
的分量（所以每个
ω
j
i
{\displaystyle \omega _{j}^{i}}
是一个通常的 1-形式而每个
Ω
j
i
{\displaystyle \Omega _{j}^{i}}
是一个普通的2-形式），则
Ω
j
i
=
d
ω
j
i
+
∑
k
ω
k
i
∧
ω
j
k
.
{\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}
例如，黎曼流形的切丛，我们有
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
作为结构群而
Ω
{\displaystyle \Omega _{}^{}}
是在
o
(
n
)
{\displaystyle o(n)}
中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，
Ω
{\displaystyle \Omega _{}^{}}
是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有
R
(
X
,
Y
)
Z
=
Ω
(
X
∧
Y
)
Z
.
{\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}
上式使用了黎曼曲率张量标准记号。